群的自同构和内自同构之间的关系
设 $G$ 是群, $\text{Aut}(G)$ 表示 $G$ 的自同构群. $\sigma(G)$ 表示 $G$ 的全体内自同构组成的集合, 它是 $\text{Aut}(G)$ 的一个子群, 并且映射 $\sigma:g\mapsto \sigma_g$ 是 $G$ 到 $\sigma(G)$ 的一个满同态, 其核为 $G$ 的中心 $Z(G)$. 所以有:
- \[ \sigma(G)\cong G/Z(G). \]
- 设 $g\in G$, $\alpha\in\text{Aut}(G)$, 则 $\alpha^{-1}\sigma_g\alpha=\sigma_{\alpha(g)}$.
- $\sigma(G)\trianglelefteq\text{Aut}(G)$.